Introducción a los Polinomios

Un polinomio es una expresión formada por la suma y resta de monomios [1 2]. También se introducen los conceptos del grado y el coeficiente principal de un polinomio. Se definen también un polinomio en forma estándar, así como los polinomios constante, lineal, cuadrático, y cúbico. Se presentan ejemplos, preguntas y sus soluciones.

Monomios

Comenzamos definiendo un monomio como un término de la forma \[ \large \color{red}{ a x^n } \] donde \( x \) es una variable, \( a \) es una constante y \( n \) es un número entero no negativo.

Ejemplos de Monomios

1. \( \quad 2 x^2 \)
2. \( \quad - 3 x \)
3. \( \quad \dfrac{1}{2} x^7 \)

Binomios

Definimos ahora un binomio como una suma/diferencia de 2 monomios que no son semejantes.

Ejemplos de Binomios

1. \( \quad 2 x + 8 \)
   
2. \(\quad - x^3 + 3 x \)
3. \(\quad \dfrac{1}{2} x^2 - x \)

Trinomios

Un trinomio como una suma/diferencia de 3 monomios que no son semejantes.

Ejemplos de Trinomios

1. \( \quad 2 x^3 + 8 x - 2 \)
2. \( \quad -\dfrac{1}{6} x^4 - 5 x - 9 \)
3. \( \quad 0.2 x^2 - x + 4 \)

Polinomios

Un polinomio en \( x \) es la suma de cualquier número de monomios y tiene la siguiente forma
\[ \large \color{red}{ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0 } \]
donde los coeficientes \( a_k \) son constantes. Si el coeficiente \( a_n \) no es igual a \( 0 \), entonces \( n \) (la potencia más alta) es el grado del polinomio y \( a_n \) es el coeficiente principal.

Ejemplos de Polinomios

Polinomios en Forma Estándar

Un polinomio está en forma estándar cuando está escrito de manera que la potencia de la variable está en orden descendente.

Ejemplo

1. \( \quad 4x - 9 + x^2 \)
2. \( \quad 4x^3 - 0.03x^4 - x^2 \)
3. \( \quad 4 - 3x^5 + x^2 - \dfrac{1}{2}x^3 \)
4. \( \quad 3x^2 - 3 - \sqrt{3}\,x^3 \)

Solución

1. \( \quad x^2 + 4x - 9 \) — grado \(2\), coeficiente principal \(1\)
2. \( \quad -0.03x^4 + 4x^3 - x^2 \) — grado \(4\), coeficiente principal \( -0.03 \)
3. \( \quad -3x^5 - \frac{1}{2}x^3 + x^2 + 4 \) — grado \(5\), coeficiente principal \( -3 \)
4. \( \quad -\sqrt{3}\,x^3 + 3x^2 - 3 \) — grado \(3\), coeficiente principal \( -\sqrt{3} \)

Polinomios Iguales

Dos polinomios son iguales si todos sus coeficientes correspondientes son iguales.

Ejemplo

Solución

Ejemplo

Solución

Polinomios Constantes

Un polinomio constante tiene un grado igual a \( 0 \) y, por lo tanto, es de la forma \( b \), donde \( b \) es cualquier constante.

Ejemplo

Polinomios Lineales

Un polinomio lineal tiene un grado igual a \( 1 \) y, por lo tanto, es de la forma \( a x + b \)

Ejemplo

Polinomios Cuadráticos

Un polinomio cuadrático tiene un grado igual a \( 2 \) y, por lo tanto, es de la forma \( a x^2 + b x + c \)

Ejemplo

Polinomios Cúbicos

Un polinomio cúbico tiene un grado igual a \( 3 \) y, por lo tanto, es de la forma \( a x^3 + b x^2 + cx + d \)

Ejemplo

Preguntas

Parte A

Clasifica los siguientes como monomios , binomios o trinomios .
\( 2 x^2 \)   ,   \( - x^2 - 2 x^3 \)   ,   \( -6 \)   ,   \( - \dfrac{1}{5} x^2 + 4 x^5 - 9 \)   ,   \( \sqrt 5 x^2 - x - 9 \)   ,   \( \dfrac{1}{2} x^2 - x^3 + 4\)   ,   \( x^3 + 4\)

Parte B

Escribe en forma estándar y determina el grado y el coeficiente principal de cada polinomio.

1. \( \quad -x^3 + 2x^2 - 1 \)
2. \( \quad -x^2 - \dfrac{1}{2}x^3 \)
3. \( \quad -0.0001x^2 - 9 \)
4. \( \quad -x - 9 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2 \)
5. \( \quad -\dfrac{1}{3}x^2 - x^3 - \dfrac{1}{5}x^4 \)

Parte C

Encuentra, si es posible, los coeficientes desconocidos para que los polinomios sean iguales

1. \( \quad x^2 + 2x - 1 = ax^2 + bx + c \)
2. \( \quad -x^3 + 2x^2 - 1 = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
3. \( \quad - x^3 + 2x -\dfrac{1}{2}x^4 = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)
4. \( \quad - 2x^2 - x -x^5 + 9 = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)

Parte D

Clasifica los siguientes polinomios como constante, lineal, cuadrático o cúbico.

1. \( \quad -6x^2 - 2x - 1 \)
2. \( \quad -1 \)
3. \( \quad -\sqrt{5}\,x^3 + 2x^2 - 1 \)
4. \( \quad -5 + 2x \)
5. \( \quad -x - 2x^3 - x^2 + 9 \)
6. \( \quad -\dfrac{x^2}{3} \)
7. \( \quad -100 \)
8. \( \quad -x^2 + 9 + \sqrt{3}\,x^3 \)
9. \( \quad -x \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Parte A

Parte B

1. \( \quad -x^3 + 2x^2 - 1 \)   — grado \(3\), coeficiente principal \( -1 \)
2. \( \quad -\dfrac{1}{2}x^3 - x^2 \)   — grado \(3\), coeficiente principal \( -\dfrac{1}{2} \)
3. \( \quad -0.0001x^2 - 9 \)   — grado \(2\), coeficiente principal \( -0.0001 \)
4. \( \quad -\dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2 - x - 9 \)   — grado \(2\), coeficiente principal \( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
5. \( \quad -\dfrac{1}{5}x^4 - x^3 - \dfrac{1}{3}x^2 \)   — grado \(4\), coeficiente principal \( -\dfrac{1}{5} \)

Parte C

1. Ambos polinomios, el izquierdo y el derecho, están escritos en forma estándar e incluyen todos los términos.

   \[ x^2 + 2x - 1 = ax^2 + bx + c \]

   Identificando los coeficientes se obtiene: \( a = 1,\; b = 2,\; c = -1 \).

2. Ambos polinomios están escritos en forma estándar. Reescribe el polinomio izquierdo incluyendo los términos faltantes usando ceros:

   \[ -x^3 + 2x^2 + 0x - 1 = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

   Identificando los coeficientes se obtiene: \( a = -1,\; b = 2,\; c = 0,\; d = -1 \).

3. Reescribe el polinomio de la izquierda en forma estándar, incluyendo los términos faltantes usando ceros:

   \[ -\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 0x^2 + 2x + 0 = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \]

   Identificando los coeficientes se obtiene: \( a = -\frac{1}{2},\; b = -1,\; c = 0,\; d = 2,\; e = 0 \).

4. Los polinomios dados no tienen el mismo grado y, por lo tanto, no pueden ser iguales.

Parte D

1. \( \quad -6x^2 - 2x - 1 \): grado \(2\), por lo tanto un polinomio cuadrático.
2. \( \quad -1 \): grado \(0\), por lo tanto un polinomio constante.
3. \( \quad -\sqrt{5}x^3 + 2x^2 - 1 \): grado \(3\), por lo tanto un polinomio cúbico.
4. \( \quad -5 + 2x \): grado \(1\), por lo tanto un polinomio lineal.
5. \( \quad -x - 2x^3 - x^2 + 9 \): grado \(3\), por lo tanto un polinomio cúbico.
6. \( \quad -\dfrac{x^2}{3} \): grado \(2\), por lo tanto un polinomio cuadrático.
7. \( \quad -100 \): grado \(0\), por lo tanto un polinomio constante.
8. \( \quad -x^2 + 9 + \sqrt{3}x^3 \): grado \(3\), por lo tanto un polinomio cúbico.
9. \( \quad -x \): grado \(1\), por lo tanto un polinomio lineal.

Más Referencias y Enlaces a Funciones Polinómicas